Orden de operaciones

 Lee detenidamente las siguientes explicaciones 

Objetivos de aprendizaje 

 

·         Usar el orden de operaciones para simplificar expresiones, incluyendo aquellas con paréntesis. 

·         Usar el orden de operaciones para simplificar expresiones que contienen exponentes y raíces cuadradas. 

 

Introducción 

  

Necesitamos un conjunto de normas comunes para realizar cálculos. Hace muchos años, los matemáticos desarrollaron un orden de operaciones estándar que nos indica qué operaciones hacer primero en una expresión con más de una operación. Sin un procedimiento estándar para hacer cálculos, dos personas podrían obtener diferentes resultados para el mismo problema. Por ejemplo, 3 + 5 • 2 tiene sólo una respuesta correcta. ¿Es 13 o 16? 

 

El orden de las operaciones suma, resta, multiplicación y división 

 

Primero, considera expresiones que incluyan una o más operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación, y división. El orden de operaciones requiere que todas las multiplicaciones y divisiones se hagan primero, yendo de izquierda a derecha en la expresión. El orden en el cual se calculan la multiplicación y división está determinado por cuál aparece primero, de izquierda a derecha. 

  

Después que se han completado la multiplicación y la división, suma y resta en orden de izquierda a derecha. El orden también está determinado por la que aparece primero de izquierda a derecha. 

  

A continuación, hay tres ejemplos mostrando el orden apropiado de operaciones para expresiones con suma, resta, multiplicación, y/o división, 

 

  

	Ejemplo	Solución
Problema	Simplifica       3 + 5 • 2.	¿ ☺ ?
	3 + 5 • 2	El orden de operaciones te dice que hagas la multiplicación antes que la suma. Observa como el 3 se bajan igual, sin cambiar nada.
	3 + 10	Ahora suma.
Respuesta	3 + 5 • 2 =	13

  

  

 

  

  

	Ejemplo	Solución
Problema	Simplifica      20 – 16 ÷ 4.	¿ ☺ ?
	20 – 16 ÷ 4	El orden de operaciones te dice que hagas la división antes que la resta.
	20 – 4	Ahora resta.
Respuesta	20 – 16 ÷ 4 =	16

  

 

  

	Ejemplo	Solución
Problema	Simplifica     60 – 30 ÷ 3 • 5 + 7	¿ ☺ ?
	60 – 30 ÷ 3 • 5 + 7	El orden de operaciones te dice que hagas la multiplicación y la división primero, de izquierda a derecha, antes de hacer la suma y la resta.    Observa como las demás cantidades se bajan igual, sin cambiar nada.
	60 – 10 • 5  + 7    60  –  50  +  7	Continúa haciendo la multiplicación y la división de izquierda a derecha.
	10+7	Ahora, suma y resta de izquierda a derecha. (Nota que la suma no se hace necesariamente antes que la resta.)
Respuesta	60 – 30 ÷ 3 • 5 + 7  =	17

  

  

Agrupación de símbolos y el orden de operaciones 

 

Símbolos de agrupación como  

paréntesis ( ), llaves, corchetes [ ], y barras de fracción pueden usarse para controlar aún más el orden de las cuatro operaciones aritméticas básicas. Las reglas del orden de operaciones requieren que se realice primero el cálculo dentro de los símbolos de agrupación, incluso si estás sumando o restando dentro de los símbolos de agrupación y tienes multiplicaciones afuera de estos símbolos. Después de calcular dentro de los símbolos de agrupación, divide o multiplica de izquierda a derecha y luego resta o suma de izquierda a derecha. 

  

	Ejemplo	Solución
Problema	Simplifica   900 ÷ (6 + 3 • 8) – 10	¿ ☺ ?
	900 ÷ (6 + 3 • 8) – 10	El orden de operaciones te dice que hagas primero lo que hay dentro de los paréntesis.
	900 ÷ (6 + 3 • 8) – 10      900 ÷ (6 + 24) – 10	Simplifica la expresión en los paréntesis. Primero multiplica.    Observa como las demás cantidades se bajan igual, sin cambiar nada.
	900 ÷ 30 – 10	Luego suma 6 + 24.
	900 ÷ 30 – 10    30 – 10	Ahora realiza la división; luego resta
Respuesta	900 ÷ (6 + 3 • 8) – 10 =	20

  

  

Cuando haya símbolos de agrupación dentro de símbolos de agrupación, calcula de adentro hacia afuera. Esto es, empieza simplificando los símbolos de agrupación en el centro. Se muestran dos ejemplos. 

  

	Ejemplo	Solución
Problema	Simplifica                               4 – 3[20 – 3 • 4 – (2 + 4)] ÷ 2	¿ ☺ ?
	4 – 3[20 – 3 • 4 – (2 + 4)] ÷ 2	Hay llaves y paréntesis en éste problema. Calcula primero los que están dentro del grupo de (). Observa como las demás cantidades se bajan igual, sin cambiar nada.
	4 – 3[20 – 3 • 4 – (2 + 4)] ÷ 2      4 – 3[20 – 3 • 4 – 6] ÷ 2	Simplifica dentro de los paréntesis. Observa como las demás cantidades se bajan igual, sin cambiar nada.
	4 – 3[20 – 3 • 4 – 6] ÷ 2      4 – 3[20 – 12 – 6] ÷ 2    4 – 3[8 – 6] ÷ 2       4 – 3(2) ÷ 2	Ahora, simplifica dentro de las llaves [ ] multiplicando y luego restando de izquierda a derecha. Observa como las demás cantidades se bajan igual, sin cambiar nada.
	4 – 3(2) ÷ 2    4 – 6 ÷ 2    4 – 3	Multiplica y divide de izquierda a derecha. Observa como las demás cantidades se bajan igual, sin cambiar nada.
	4 – 3	Resta.
Respuesta	4 – 3[20 – 3 • 4 – (2 + 4)] ÷ 2  =	1

  

Recuerda que los paréntesis también pueden usarse para denotar una multiplicación. En el ejemplo siguiente, los paréntesis no son un símbolo de agrupación; son un símbolo de multiplicación. En éste caso, como el problema tiene sólo una multiplicación y una división, calculamos de izquierda a derecha. Ten cuidado al determinar qué significan los paréntesis en un determinado problema. ¿Son un símbolo de agrupación o un símbolo de multiplicación? 

  

	Ejemplo	Solución
Problema	Simplifica 6 ÷ (3)(2)	¿ ☺ ?
	6 ÷  3 • 2	Ésta expresión sólo tiene multiplicación y división. La multiplicación se muestra con un punto.
	6 ÷  3 • 2      2 • 2	Como la expresión tiene sólo división y multiplicación, calcula de izquierda a derecha
Respuesta	6 ÷ (3)(2) =	4

  

Considera qué pasa si se le añaden corchetes al problema anterior:  

 

6 ÷ {(3)(2)}.  

 

Los paréntesis siguen siendo multiplicación; los corchetes adicionales son un símbolo de agrupación. De acuerdo con el orden de operaciones, calcula primero lo que hay entro de los corchetes. Ahora éste problema se evalúa a como  

 

6 ÷ 6 = 1 

 

Nota que los corchetes provocan que la solución cambie de 1 a 4. 

  

 

El orden de operaciones 

  

1)      Realiza todas las operaciones empezando por los grupos de adentro. Los símbolos de agrupación incluyen paréntesis ( ), llaves { }, corchetes [ ], y barras de fracción. 

2)      Multiplica y divide, de izquierda a derecha. 

3)      Suma y resta, de izquierda a derecha. 

  

Realizando el orden de operaciones con exponentes y raíces cuadradas 

  

Hasta ahora, nuestras reglas nos permiten simplificar expresiones que tengan multiplicación, división, suma, resta o símbolos de agrupación. ¿Qué pasa si un problema tiene exponentes o raíces cuadradas? Necesitamos expandir nuestras reglas de orden de operación para incluir a los exponentes y a las raíces cuadradas. 

  

Si la expresión tiene exponentes o raíces cuadradas, deben ejecutase después de que lo hayan hecho los símbolos de agrupación (), {} y hayan sido simplificados y antes que cualquier multiplicación, división, suma y resta que esté fuera del paréntesis o en otro grupo de símbolos. 

  

Nota que calculas de operaciones complejas a operaciones básicas. La suma y la resta son las operaciones más básicas. Probablemente las aprendiste primero, La multiplicación y la división, son más complejas. 

 

Los exponentes y las raíces cuadradas se repiten y como son aún más complejas, deben venir antes de la suma y la resta en el orden de operaciones.  

 

Los exponentes y las raíces cuadradas están repetidas en la multiplicación y la división, y como son más complejas, se realizan antes que la multiplicación y la división.  

 

 

Algunos ejemplos que muestran el orden de operaciones implicando exponentes y raíces cuadradas se muestran abajo. 

 

 

  

	Ejemplo	Solución
Problema	Simplifica 14 + 28 ÷ 22	¿ ☺ ?
	14 + 28 ÷ 22	Éste problema tiene suma, división, y exponentes. Usa el orden de operaciones
	14 + 28 ÷ 4	Simplifica 22. Observa como las demás cantidades se bajan igual, sin cambiar nada.
	14 + 7	Realiza la división antes que la suma.
	21	Suma.
Respuesta	14 + 28 ÷ 22 =	21

  

 

  

	Ejemplo	Solución
Problema	Simplifica 32 • 23	¿ ☺ ?
	32 • 23	Éste problema tiene exponentes y multiplicación
	9 • 8	Simplifica 32 y 23.
	72	Realiza la multiplicación.
Respuesta	32 • 23 =	72

  

  

 

  

	Ejemplo	Solución
Problema	Simplifica        (3 + 4)2 + (8)(4)	¿ ☺ ?
	(3 + 4)2 + (8)(4)	Este problema tiene paréntesis, exponentes, y una multiplicación. El primer conjunto de paréntesis es un símbolo de producto. El segundo conjunto indica que es multiplicación. Agrupa a símbolos que se manejarán primero.
	72 + (8)(4)      49 + (8)(4)	Añade números dentro de los paréntesis que sirven como símbolos de agrupación.     Simplifica el 72.    Observa como las demás cantidades se bajan igual, sin cambiar nada.
	49 + 32	Realiza la multiplicación.
	81	Suma.
Respuesta	(3 + 4)2 + (8)(4) =	81

  

Algunas personas usan una frase para ayudarse a recordar el orden de operaciones. La frase se llama PEMDAS o  

 

“Please Excuse My Dear Aunt Sally”  

 

La primera letra de cada palabra inicia con la misma letra de la operación aritmética. 

  

Please    Paréntesis (y otros símbolos de agrupación)

Excuse    Exponentes

My Dear    Multiplicación y División (de izquierda a derecha)

Aunt Sally    Adición y Sustracción (de izquierda a derecha)

 Realiza las siguientes actividades y súbelas a Tareas. 

Realiza cada ejercicio paso a paso como se vio anteriormente, ya que se te da el resultado correcto. 

1.- -63÷(-7) = 9 

2.- 3x14÷7 = 6 

3.- 16x9÷(-6) = -24 

4.- -22÷11x(-4) = 8 

5.- 9÷3x2+7x8-3 = 59 

6.- 15-2(-5)-(20-4)÷8 = 23 

7.- (26+2)÷(-4)-10(8-12) = 33 

8.- 4+3(-12)+(6-34)÷(-7) = -28 

9.- 2x3(9−2)2+(6−9) ÷(-3) =295 

10.- 2+ (9−2)2+(6−9)2=60